初中数学四点共圆判定方法 五道例题你能证明三道说明你有真水平

初中数学四点共圆判定方法 五道例题你能证明三道说明你有真水平

初中数学四点共圆判定方法 五道例题你能证明三道说明你有真水平

四点共圆的判定方法有很多,今天,我们只简单的介绍五种,并配上例题进行说明,

一、四点共圆五种判定方法:

1、对角互补法:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角,那么这四点共圆;特殊情形——若一个四边形有两个对角都为90º,那么该四边形四个顶点共圆;

推论:同斜边的直角三角形四点共圆。

2、同侧共底边三角形顶角相等法:若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等,那么这二点和线段二端点四点共圆(同弧所对圆周角相等)

也可表述为:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆。

3、中垂线法:连成的四边形三边中垂线交于一点,则这四点共圆.

证明:如图,ABCD是连成的四边形 其三边ABCD DA的中垂线交于点O

因为OE是AB的中垂线 所以OA=OB(线段中垂线上任何一点到线段两个端点距离相等)

同理 有 OA=OD OD=OC

即OA=OB=OC=OD(四个点到一定点的距离相等)

所以 A B C D四点共圆,圆心即连成的四边形各边中垂线的交点.

4、相交弦定理的逆定理:把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段,若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等,即可肯定这四点共圆;

5、割线定理的逆定理:或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段,若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积,即可肯定这四点也共圆.(见例5)

二、具体方法、例题解析

2.1、对角互补法

例1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C、E 是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO. 求证:CD=GF

2.2、同侧共底边三角形顶角相等法(应用较多)

例2、设 MN 是圆 O 外一直线,过 O 作 OA⊥MN 于 A,自 A 引圆的两条直线,交圆于 B、C 及 D、E,直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q.

求证:AP=AQ.

证明:作 E 点关于 GA 的对称点 F,连 FQ、FA,FC,

∵OA⊥MN,EF⊥OA,

则有∠FAP=∠EAQ,∠EAP=∠FAQ,FA=EA,

∵E,F,C,D 共圆

∴∠PAF=∠AFE=∠AEF=180°﹣∠FCD,

∵∠PAF=180﹣∠FAQ,

∴∠FCD=∠FAQ,

∴FCAQ 四点共圆,

∠AFQ=∠ACQ=∠BED,

在△EPA 和△FQA 中

∠PEA = ∠QFA

AF = AE

∠PAE = ∠QAF

∴△EPA≌△FQA,

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